Сергей Радченко учился в Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского (класс профессора А. П. Мартынова) и Академии хорового искусства имени В. С. Попова (класс профессора Д. Ю. Вдовина). Лауреат вокальных конкурсов имени Ф. И. Шаляпина в Москве (2008) и имени Б. Тулегеновой в Астане (2011).
С 2011 по 2014 год был участником Молодёжной оперной программы Большого театра, на сцене которого дебютировал в опере В. А. Моцарта «Волшебная флейта». Участвовал в концертах и зарубежных гастролях театра, в том числе в совместном проекте с Парижской национальной оперой «Молодые голоса Москвы и Парижа». В настоящее время — приглашенный солист Большого театра.
В его репертуаре партии Юродивого («Борис Годунов» М. Мусоргского), Владимира Игоревича («Князь Игорь» А. Бородина), Альфреда («Летучая мышь» И. Штрауса) и другие партии в операх Дж. Верди, Дж. Пуччини, Р. Штрауса, А. Даргомыжского, Н. Римского-Корсакова, П. Чайковского, С. Прокофьева.
Сергей Радченко спел Ленского («Евгений Онегин» П. Чайковского) на сценах Мариинского театра и театра Сан Карло в Неаполе. В 2013 году проходил стажировку на Молодежной оперной программе Доминго-Карфица в Вашингтонской национальной опере.
На концертной сцене выступал с Национальным филармоническим оркестром России и «Виртуозами Москвы», Государственным симфоническим оркестром «Новая Россия», Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, оркестром Московской филармонии и оркестром Министерства обороны РФ. Сотрудничал с дирижерами Юрием Башметом, Владимиром Федосеевым, Василием Синайским, Владимиром Спиваковым, Юрием Симоновым, Кристофером Мулдсом.
Выступал на фестивалях: Юрия Башмета в Сочи, «Спасская башня», оперном фестивале имени Ирины Архиповой, «Черешневый лес», «Владимир Спиваков приглашает…», Рождественском фестивале, Шаляпинском фестивале в Казани. Принимал участие в абонементных концертах Московской филармонии.
Сотрудничает с композитором Александрой Пахмутовой. Принимал участие в музыкальных программах на телевидении.